夫の死後、愛人とその子を名乗る人たちが現れました。遺産相続の対象者となるのでしょうか？

夫の愛人や内縁の妻は、法定相続人になることはできません。
遺産相続に名乗りをあげても、遺産を相続することはできないというルールです。亡夫の遺産相続ができるのは、戸籍上の配偶者のみとなります。
戸籍上の配偶者とは、婚姻届けを提出することにより法的に結ばれた妻のことです。

愛人や内縁の妻としてどれだけ親密な生活を送っていたとしても、婚姻届を提出して戸籍や法律の面で夫婦として結ばれていなければ「遺産相続はできない」という結論になります。

遺言書と死因贈与契約で相続の可否が変わることがある

夫の遺言または死因贈与契約が残っていれば話は別です。
遺言は亡き人の意思を死後に残す存在になります。
遺産とはもともと亡くなった夫の財産です。
夫の財産だからこそ、財産の持ち主である夫に処分権があります。
夫が遺言に「愛人（内縁の妻）に相続させます」と書いていれば、法定相続人になれない愛人や内縁の妻でも、遺産を相続することが可能なのです。
なお、遺言が残っていても、遺言の中身で愛人や内縁の妻に触れていなければ、愛人や内縁の妻は遺産相続ができません。
遺言があれば相続できるのではなく「遺言の内容次第で相続できる可能性がある」ということです。
死因贈与契約とは「夫が死んだら財産を贈与します」という契約のことになります。
相続と贈与は厳密に言うと異なる制度なのですが、遺産を渡すという点でよく似ているのです。
愛人と亡夫の間でこの死因贈与契約が結ばれていれば、贈与契約の対象になっている財産を渡す必要があります。

愛人の子（非嫡出子）は認知の有無によって相続の可否が変化

愛人の子については、相続の可否がわかれます。
非嫡出子（婚外子）の場合、「認知されているか否か」が相続のポイントです。

認知とは「自分の子供である」と認めることを指します。
非嫡出子を亡夫が「自分の子供だ」と認めていた（認知していた）場合には、子供に相続権が認められるというルールです。
愛人との間にもうけた非嫡出子を認知していなければ、子供には相続権がないという結論になります。
非嫡出子が認知されているかどうかは、非嫡出子の戸籍で確認が可能です。
非嫡出子が認知されると、戸籍に認知があったことが記載されます。

亡夫が愛人との子供に遺産を相続させる旨を遺言に書いていれば、相続の対象になるのは愛人や内縁の妻と同じです。
死因贈与契約についても、愛人や内縁の妻と同じ解釈になります。

相続は身近な問題です。
相続で気になることがあれば、弁護士などの法律の専門家に相談し、トラブルの深刻化を防ぐことをおすすめします。